11月上旬(平日）に、同じルートで縦走しました。
自分は新高塚小屋には14時過ぎに到着しましたが、その時点では5名くらいでした。
15時頃には、30名くらいは到着していたかと思いますが、まだ余裕でした。
16時頃をすぎて、ほぼ満員の状態になりました。
テントも5張くらいありました。
更にその後、暗くなってから団体がやってきました。
メンバー内に具合の悪くなった方がいて、ペースダウンを余儀なくされたようでした。
その方1名を何とか小屋に収容し、他のメンバーはテントでした。
なので、15時に確実に到着できるなら、恐らくは大丈夫だと思われますが、連休なのでもう少し早い時間に埋まる可能性はあると思います。
とにかく、早く着くことが一番ですが、団体だとペースが読めないので、テントは絶対持って行った方がいいと思います。
しかし、上記のように、山では助け合い・譲り合いなのでいざという時は、1名くらいなら何とかなると思います。

混雑するかはわかりません。ごめんなさい。
案内所や役場に聞いて予測するしか無いです。

ここの小屋は６０人ぐらい入れるので混雑していたら３人だけ入れてもらえるように交渉しましょう。
３人の不要な荷物はテントで保管します。
他の人にちょっと迷惑ですが荷物を詰めてもらうだけでもなんとか入れると思います。

それが嫌で、テント購入もしないというのであればレンタルはどうでしょうか？

ネットで検索すれば色々なお店がレンタルしています。

情報古いかもしれませんが、屋久島ではナカガワスポーツさんしかテントのレンタルはしていないです。（４人用）

それも嫌なら４人用と２人用テントを持っていき無理やり全員で入るしかないです。

頼りにならない答えで申し訳ないです。
屋久島楽しそうでいいですね！頑張ってください。