参考になるか分かりませんが先日
日帰りで開聞岳に行って来ました。
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-262947.html
私は限られた時間しかありませんでしたが
もし泊まるならヘルシーランドの向かいに「田舎や」という四人で一泊1万円のコテージがありました。
参考になれば良いのですが

izukomeさん、こんばんは。

どういうメンバーかフライトはどうするのか判らないとアドバイスが難しいと思いますが・・・

以前、霧島温泉で１泊、翌日に霧島連山を縦走（レンタカーを高千穂河原に置き、高千穂峰をピストンしてからバスでえびの高原へ移動して車まで縦走、指宿泊、翌日開聞岳をピストンして東京帰着。というのを単独でやったことがあります。（新燃岳噴火前です）
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-67551.html
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-70260.html
４人だとレンタカーでの移動は基本でしょう。６月だと雨が心配ですが、花は期待できそうですね。

往復の交通と、ピーク優先か縦走希望か、足並みが揃っているかでバリエーションが多いと思いますよ。
特に飛行機の時間によって３日目の選択肢が大幅に変わるので、絞り込んで質問なさるのが良いと思います。

時期と地域でヤマレコの山行記録を一通りチェックしてから、気になるポイントを質問するのも良いでしょう。

先日1泊2日で山梨県→指宿まで乗用車で行ってきました。枕崎から開聞岳を見て登山靴を持っていかなかったのが後悔してます。

このプランはどうでしょう。

1日目　川崎3：00→霧島山近くのホテル19：00
2日目　えびの登山口6：00→山頂→えびの登山口9：00→開聞岳登山口12：00→山頂→17：00→指宿温泉
3日目　指宿温泉6：00→川崎22：00

交代で運転していけば可能です。