Yamaboさんのプロフィールを拝見しました。すでに、塔、丹沢山、鍋割に登られていますね。１００パーセント正しい回答ではないことをご承知の上でお読みください。
丹沢営業小屋。尊仏、みやま山荘なんかです。尊仏では小屋の中でバーナーが使えますが、小屋に入って休憩するのは有料です。確か３００円、コーヒーとか飲み物を注文するなら休憩は無料です。バーナーを使って食事している人を見かけたことありd
です。みやま山荘も山レコのレコを読むとできるようですが、オーナーの方の許可が必要のようです。
鍋割は？？？かもしれません。

次に、無人の避難小屋ですが。中でバーナーを使って食事することは、許されると解釈しています。火気厳禁という表示は見たことがありません。この点については、所轄の役所の関係部署に確認された方がいいとおもいます。神奈川県は確か公園協会だったかな。ビジターセンターでも教えてくれると思います。

前の方が丁寧に回答されていますが、公園では、全ての場所で火器使用禁止と思って間違いありません。七沢森林公園、指定のバーベキュー場所以外、但しここは持ち込み禁止のはずです。
宮ヶ瀬湖湖畔は、バーベキュー禁止ですが、バーナー使用は認めているはずです。火器使用禁止の場所は全ての火器禁止。その他の場所では、安全に気をつけて、常識的な範囲内でバーナー使用ではないでしょうか。

火に対する危険物の取り扱いは消防法で定められており、使用者は危険物取扱免許が必要です。キャンピングガスカートリッジは消防法でいうところの危険物ではないため、免許を持っていない一般の人でも使えます。
危険物を扱ったり貯蔵する場所は、消防署に届出る必要があり、この状況に応じて「火気厳禁」と指定書式の標識を掲げることが必要です。
山で見かけられた「火気厳禁」が近くに危険物倉庫がある等の理由で消防署に届けられたエリア内の場合は、これを守らないと消防法違反になります（当然、タバコも吸えません）。しかし、エリア外の場合は、しっかりとした管理のもと常識的な範囲でバーナーを使うのは問題ないと考えます。もちろん、（消防法的に厳密な）危険物ではなくても、かなり危険な可燃性ガスですので、バーナーの注意書きを守ることは当然です。
まあアウトドアですから、火気厳禁エリアをちょっと外れたところに移動して、しっかりと管理しながら炊事を楽しめばいいと思いますよ。

　登山やハイキングに行って、「火の用心」「たきび禁止」とかいった表示はよく見ますが、「火気厳禁」はあまりみたことがありません。

　確認するとすれば、そこが国立公園、国定公園、府県の自然公園などであれば、各自治体の環境保護課や自然保護課に聞くのが、いいと思います。そうでない場所は、国有林なら森林管理署（元の営林署）でしょうか。あるいはともかく自治体の自然保護課にきくのがいいかもしれません。

　今から４５年も前に私がはじめてテント担いで泊まりがけで登山した時には、適当な場所にテントを張って、炊事はそのあたりの枯れ木や落ち葉をあつめてたき火をし、飯ごうで炊飯しました。簡便なガスバーナーなど一般には普及してませんでしたから、そういうのが当然のことのようにおこなわれていたのです。

　たき火の後始末がいいかげんで、山火事がおこったりしました。もちろん、高山帯では薪を入手することは即環境破壊になりかねません。そこで、そういう危険を回避するために、失火の可能性のすくないバーナーを使用することが強く勧められ、自然保護意識の高い登山者はコンロを必ず装備するべきとされたのです。

　それが、現在ではバーナーの使用そのものが、環境破壊行為とみなされかねない（そう認識する人が存在する）のですね。時代を感じます。

山全体はよくわからないのですが、山小屋の中では火気厳禁というところは多いと思います。また、山中や山頂に関しては山小屋で聞いてみてはいかがでしょうか。