私もmattsooと同意見ですよ〜　レンタカーを借りれば全く問題なく、公共機関では逆に難しいかも。
韓国岳に登った後は、白鳥山の池めぐりをしてもよいし、もっとも近い温泉としては、えびの高原荘が迷わないでいいと思いますよ〜(^.^)
http://www.ebinokogenso.com/04_spa/index.html
楽しんでくださいね〜

「交通ナビかごしま」というサイトがあります。
http://kotsu-navi.pref.kagoshima.jp/

出発地:鹿児島空港、目的地:えびの高原という条件で検索すると、
最速が8:45発・11:26着、合計1,520円となっています。
（バス→JR→バスの乗り継ぎ）

韓国岳の最短PHであれば、到着日でも問題なくできるでしょう。

なお、この検索結果で霧島神宮駅からえびの高原までのバスは、
「霧島連山周遊バス」というものです。
韓国岳と大浪池を縦走するときなどにも使えます。

下記リンク先に、エリア全体のバスマップと、
このバスのルートマップと時刻表があります。
http://www.city-kirishima.jp/modules/page059/index.php?id=63

ちなみにmattsooさんが書かれている林田温泉は、
バスマップのいわさきホテルです。ここがターミナルなのに、
えびの高原と直接結ぶバスがないというのが、バスで回る際のネックです。

宿というか温泉は無数にあります。
私も先日訪問した際に堪能しました。ホントいいところです。

どうぞご活用ください。

えびの高原へはバスもありますが、時間が限られているので、レンタカーを借りることをオススメします。
鹿児島空港からですと１時間半程度ですので、お昼ごろに山頂に登れると思いますよ。
宮崎、鹿児島は公共交通機関の便がよろしくないので、レンタカーがあれば自由に動けるので便利です。

宿泊はえびの高原からちょっと降りたところに霧島温泉があります。
有名なホテルは林田温泉さん。
宮崎側にもいくつか温泉宿がありますので、検索サイトなり観光協会さんなりでご希望のあうものを探せばいいと思います。

もし時間に多少自由度があれば、高千穂河原を下ったあたりの「高千穂牧場」に寄ってみてください。
霧島連山を見ながら食べるソフトクリームは絶品ですよ。