白馬駅から歩いて3分ほどの「白馬ロイヤルホテル」が朝6時から日帰り入浴をやっているはずです。
私自身も5年ほど前、朝6時過ぎから利用したことがあります。

公式サイトには利用可能な時間帯が書いてありませんが、いろいろ検索してみた限りでは今でも6時から入れるようです。
ただし、一応念のため、事前に直接問いあわせてみてください。
http://www.hakuba-royal.com/

ちなみに当時は公式サイト上にクーポンがあって、それを印刷して持っていくと100円くらい割引してくれた記憶があるのですが、今はないようですね…。