はじめまして。

富士山の須走口の近くに「天恵」という日帰り入浴施設があります。
4-5年前に行ったのですが、仮眠室は広くて、リクライニングチェアとほぼ水平に寝転べるマットがありました。
営業時間は10時〜24時で、料金は土日だと1500円と高めです。
ここで休憩すると、中央道・東名どちらかすいている方で帰れる利点もあります。（ここが一番おすすめです）

河口湖の富士急ハイランド横のふじやま温泉も仮眠室がありますが、
騒がしかったと思います。しかも料金が高いです（土日は2000円）。

御殿場にも御殿場高原「時の栖」という複合施設があって、その中の「天然温泉気楽坊」に仮眠室がありました。こちらもちょっと騒がしかったと思います。料金は2000円です。
須走の天恵とおなじ系列の施設です。

日帰り温泉施設は、何年か経つと仮眠室をなくして岩盤浴にしたり、内部のレイアウトを変更してしまうことがあります。
来年利用する前に、施設に直接確認してみてください。

その近辺というと温泉施設が妥当かと思います。
パッと思いつく限りで、石割の湯、紅椿の湯、いやしの湯、やまなみ温泉があります。
各施設HPなどをご覧になってみてはいかがでしょうか？