こんばんわ。
大阪でも大阪市内、北摂、河内、泉州他どの辺りにお住まいかで行きやすい山は色々ですが。

私は滋賀県民なので比良山系と北摂〜京都西山辺りの山をオススメします。
あとは車利用か電車利用かで行きやすい山も変わってきますね。

・布引きの滝から掬星台へ抜ける眺望の良いコース
・トゥエンティクロスを通って森林植物園へ向かうコース
・徳川道から穂高湖へ紅葉の山道を踏みしめるコース
六甲山のバリエーションはどれもお勧めですが、
東お多福山か風吹き岩などから六甲山山頂を経て有馬温泉へ抜けるのが特にお勧めです。有馬はお湯がすばらしいので、登山帰りの温泉、すごく良いですよ。電車で行って電車で帰れるのも温泉でビールを飲みたい人には良いです。

マイカーで少し足を伸ばして、空気や水の良さを堪能するのであれば、八経ケ岳や大台ヶ原山もお勧めです。大台ケ原からは晴れた日には富士山も見えるそうで（私はまだ見ていませんが）どちらも山頂からの景観は素敵です。
弥山は水も美味しいですし、麓の洞川温泉はお土産を買ったり散策、キャンプにも良いところですので、少し遠出をしても、というなら、関西デビューには今後のレジャーの下見を兼ねて、、、というのも良いのじゃないでしょうか。
もう少し寒くなったら、京都の鞍馬なんかも良いですよ。大阪からでも十分日帰りで電車でも行けます。

金剛山も山頂でキャンプができたり、雪の季節は雪合戦ができたり、山らしい良いところですね。小学生の頃の遠足でよく行きました。
楽しんでくださいね！

金剛登山口。山の豆腐やさんのお豆腐は美味しいので、その日の夕食にいかがでしょうか？
あと、金剛登山口に水場がありまして、そこのお水も美味しいですよ。

あと、場所が少し離れますが、金剛の水も大変美味です。

あと、お得チケットには、交通費のお得だけではなく、お店の特典ございます。
http://www.nankai.co.jp/library/traffic/otoku/kongou/pdf/tokuten2013.pdf

金剛山には、いろいろなルートがありまして、山と高原の地図以外にもございます。
とりあえず、山と高原の地図をお持ちになってくださいね。
ちはや園地の展望台まで行かれて（転法綸寺から片道30分ほど）山座同定もお勧めです。

歴史がお好きなら、楠木正成の居城、役行者の経塚で有名です。

そして、関東にもロングトレイル、奥多摩からみずかきが有名ですが、ここ大阪にもございまして、ダイヤモンドトレイルが有名です。
特に、金剛山より南が静かです。
あと、加藤文太郎の六甲縦走。
兵庫の豊岡には、植村直己博物館もございます。


関西のお山をお楽しみ下さいませ。

失礼いたしました。


金剛山が大好きな大阪のおせっかいなおばちゃんより。

関西でも、大阪の南の方なら金剛山（南海高野線河内長野下車。金剛山登山口までバス30分。南海の駅で、お得な金剛山ハイキングチケットあり。）

http://www.nankai.co.jp/odekake/bochibochi.html

http://www.nankai.co.jp/traffic/otoku/kongou.html

滋賀や京都なら、比良山。今の時期ならもう涼しくなっているかと。
神戸なら、六甲山。まだ暑いのではないかと。
大阪市内なら、生駒山。ここは暑いでしょう。
奈良なら、春日山原始林。ここも暑いでしょう。
奈良で、車がございましたら（電車・バスでも行けますが、日帰りは難しいかと。）手始めに稲村ヶ岳でしょうか。もう涼しくなっているかと思います。

メジャーな所ばかりをピックアップしましたが、関西の山も捨てたものでもありませんので、このあたりの本で行かれてみてはいかがでしょうか？

・関西周辺 週末の山登りベスト120 (ヤマケイアルペンガイドNEXT) [単行本（ソフトカバー）]
加藤芳樹 (著)

・関西トレッキング BESTコースガイド (MAPPLE) [単行本（ソフトカバー）]

あと、関西百名山ってものもあります。