tokyovinusさんこんにちは。
私は冬しか登ったことが無いのですが、他の方の書き込みが無いようなので回答します。
6月20日頃って結構微妙な時期でその年によって残雪状況はかなり違いがありますが、とりあえず6本爪くらいの軽アイゼンとトレッキングポールがあれば間違いはないと思います。
残雪状況は栂池ヒュッテのホームページに時々アップされますのでチェックしておくと良いでしょう。
http://www.hakuba-sanso.co.jp/tsugaike/archives/category/news
因みに一般的なルートであれば冬でもピッケルが必要な山ではありません。
ただ山スキーに最適な斜度があるので、登られる際はトレッキングポールを普段より短めにして重心を前にかけられるようにすると良いでしょう。
あと天狗原周辺はたいへん広く無木立ですので、ガスった際の道迷いと、防寒対策は必須です。
晴れていて穏やかな日であれば特に危険な場所もなく、眺めも最高ですので是非楽しんできてください。