千葉在住の二児の父です。私も長男5歳。次男3歳のときに登山を再開し、現在子供は小２と年長になりました。我が家は筑波山に毎月登っていますが、結構人多いです。子供達も筑波山は次に行く山のトレーニングと思っているようです。
　という訳で関東近郊の山ですが、丹沢の大山も富士山も見えて頂上からは都心のビル群も見えて楽しいですね、ただこの時期だと山ビルの襲来が大変ですね。まだ、2回目ですとあまりきついところに登って、登山が嫌いになってしまっても・・・。
　金時山は都心からも近く、アプローチも短めで山頂からの富士山は圧巻ですし、下山後に箱根の温泉楽しめますね。三つ峠も富士山の景色良かったです。。
　あとは少し遠出して尾瀬で1泊も良いですよ。天候に恵まれた時の星空最高です。（息子達は北アルプスの燕岳の山小屋で寝転びながら飽きずに星空を眺めて喜んでいました。）ただ、至仏山やひうちは結構きついので登らないほうが良いと思います。
　FTKKさんも回答されていますが、大菩薩も景色も良く安全に登れます。我が家も小１、年中のときに行きましたが大菩薩までは普通に登っていきました。　
　子供って登山中に変なものに気を取られたり、疲れた、はやくおやつ食べたいなどなど、大変な事もありますが、本当に子供の登山楽しいですよ！　鳥の鳴き声のする笛買って登山中吹いて遊んだり、バードコール鳴らして鳥を呼び寄せたり、おまけつきのお菓子で頑張らせたりと、大変な山登りを何か楽しめるようにして色々と作戦練りながら頑張ってます。
　娘さんと一緒に山登り頑張ってください。子連れ登山は本当にたのしいですよ！！
　長々とスイマセン。

娘さんと登山ですか!(^^)!私もだいぶ昔、小学生だった娘を連れて何度か登りましたが、最近はもう・・全く相手にしてもらえません(._.)。
でっ！娘と行った山ですが、隣の影信山、陣馬山辺りはいかがでしょう？高尾山からの縦走（陣馬まではキツイかも？）でもよいし、単独でも近くの登山道から登れば１時間前後で着きますよ。
あと夏休みにですが、長野の乗鞍岳に１泊で登ってきました。３０００ｍを超しますが、２８００ｍ付近までバスで行けるので、高山病を気を付ければ問題ないと思います。天気が良ければ景色は圧巻ですよ〜。
私は娘と二人でしたが、家族旅行を兼ねてで行くのが良いかもですね。ついでに上高地とかね。

大菩薩は、如何でしょうか？
・おすすめのコースは、上日川峠(駐車場)〜福ちゃん荘〜大菩薩峠〜雷岩〜大菩薩嶺〜雷岩〜福ちゃん荘〜上日川峠で、歩く距離は8km程度、標高差は高尾山とほぼ同じで400m程度です。
・天候さえ良ければ、大菩薩峠〜雷岩の区間は見通しを遮る木々が無いので、富士山や南アルプスなどを眺めながら標高2000mの稜線歩きが手軽に楽しめます。危険なところもありません。
・雷岩辺りで景色を楽しみながらお昼ごはんを食べる方が多いです。
・トイレは上日川峠、福ちゃん荘、大菩薩峠にあります。
・上日川峠の駐車場は混むので暗いうちに到着された方が良いです。
と言った感じです。

siskmaさん　はじめまして。

　奥多摩の御岳山はどうでしょうか？ケーブルカーで上まで行くことも出来ますし子供連れの方も多いです、御岳山自体は宿坊やお土産屋さんが並んでいますが、そこから日の出山に行けば東京方面の眺望がいいですし、ロックガーデン方面に行けば緑が豊かで小さいですが滝などもあります、どちらもアップダウンは少なくトイレもあります。

　御岳から大岳山へのルートも子供連れの方は見かけますがこの時期は道が滑りやすかったり(若干粘土質っぽい)岩場っぽいところもあるのでお子様が慣れてからの方がいいかとは思います。
　ルートの感じとしては御岳までケーブルで上がるとして時間とコースの簡単な順で
・眺めを楽しめる日の出山(道中も整備されて危険の少ない道)
・自然と触れ合うのでしたらロックガーデン(雨の後などは若干注意が要ります)
・登山的要素が楽しめる大岳山

楽しい時間を過ごせるといいですね、ご安全に。