足柄峠から南に林道を入った終点に車を置いて、北側から金時山に登るのが、やはり一番近いです。
手前味噌ながら２年前の私の記録を見ていただければ、どのようなコースかわかるかと思います。
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-241777.html
鳥居を過ぎた所から急登になって、１２か所の階段が出てきますので、ベビーキャリアのフレームを階段の手すりにぶつけないように注意してください。

先週の土曜日（9/6）に行ってました。
足柄峠から林道に入ってゲートまで行くことができます。ここからが最短かと思います。
ゲートのすぐ脇と、少し手前にも停めれます。
9：30頃の到着でしたが余裕ありました。
登山道は後半階段になりますが、ベビーキャリーつきでも問題ないかと思いますよ〜♪

足柄峠の方の林道終点からが最短です
軽装なら30分位で山頂に着きます
最近の駐車場状況はわからないので、
http://www.yamareco.com/modules/yamainfo/ptinfo.php?ptid=1866
から、林道終点にかかわる最近の山行記録をご覧ください

最短時間で登るなら、やはり公時神社から登るのが一番短時間で登ることができると思います。
土日に行くのでしたら、８時には駐車場に着いていればとめられると思います。
無料駐車場の他にゴルフ練習場にも駐車場があります。（有料）

ベビーキャリア付きで登るのでしたら、足柄の地蔵堂からのルートもいいと思います。
公時神社からのルートより時間がかかりますが、登山道が広く、比較的傾斜が緩やかだと思います。地蔵堂のところにも駐車場があります。

あと、金時山での注意ですが、山頂で絶対にバーナーを使ってはいけません。
金時娘に怒鳴られます。