こんばんは

テントマットは、下記のような役割だと思いますよ。

■クッションシートとして■
小石などがいっぱいあるテント場では、これがあると床面がごつごつせずに、楽に過ごせます。膝をついて「いてっ！！」なんてことが少なくなります。
■防水シートとして■
テントの床から侵入してくる水や湿気を防ぎます。雨が強いと、フライシートやテント壁面を伝わって、床に水がたまることがあります。テントの床の防水機能が落ちてくると、水分がしみ込んできます。それらを防ぎます。ICI石井スポーツさんからのアドバイスでは、床面積より広いものを用意して、４辺は１０cmほど立ち上げておくと、テントの床が水たまりになっても、しのげるとのことでした。
■断熱シートとして■
地面の冷たさを緩和してくれます。
■テント床面保護シートとして■
テント床面は、内側に防水加工が施されています。人間がテント内で動き回り、そこに擦れる・押しつけるなどの力が加わると、この加工が剥げてきます。テントマットを敷くことで、直接の摩擦を軽減し、床の防水加工を保護してくれるそうです。

自分のテント生活に、これらが必要かどうかを考えて、使う人もいれば使わない人もいます。

自分は春〜秋山まではレジャーシートですませています。あのペラペラに薄いやつですよ。
特に不便を感じた事は無いし、持っていってもさほどの重量ではありませんので。むしろテント内で煮炊きしたりする時の汚れ防止かな。冬は銀マットのペラペラなヤツを持って行きます。
ホームセンターで売っている押入れの中とかに敷くヤツです。これはレジャーシートより断熱効果あります。山道具屋で売っているより値段も安いし、かさ張らなくて良いですね。

前出の回答の通り、テントの床面前面に敷く薄いマットがテントマットです。
1mm〜2ｍｍの薄い銀マットであることが多いです。
パーティで行くなら、テントと同じく共同装備ですね。

対して、寝袋の下にそれぞれ敷くのがシュラフマット（スリーピングマット）です。
幅50cmくらい、長さは半身用の120cm程度から全身用の200cm程度のものもあります。
こちらは各自が持ってくる個人装備で、快眠のためにはよほど軽量化してビバークするのでもない限り必携です。

テントマットが必需品かと言われると、必需品ではありません。
僕の場合、春〜秋は使用しません。
厳冬期にアルプスや八ヶ岳等の高山でテント泊するときは、使用します。
ないと、寒くて死にます（笑）

僕が本格的に山を始めたのも、25年前の中学生の頃です。
あの頃とは、登山を取り巻く環境も、使う道具も変わりました。
でも、山は全然変わっていませんよ^^
頑張ってくださいね！

テントマット=テント床面全面に敷く薄いマットで、下からの湿気や冷たさを防止するために使用します。使わない人も多いです(結構大きいので)。銀色マットをイメージすると良いと思います。テントメーカーから専用のものも販売されていますが、タイベックなどの防水透湿素材を使用すると軽量化ができるので検討されてはいかがでしょうか?

スリーピングマット=シュラフを敷く際に主に背中部分に敷くマットで半身用や全身用などいくつかサイズがあります。空気を注入するものとかウレタンのものとか種類も豊富ですし、価格も色々です。安眠のためには必須だと思います。