駐車場のキャパシティ、バスの接続を考えれば断然、伊那側をおすすめします。時間や体力に余裕があれば、北沢峠から徒歩での下山も可能ですし。芦安は北岳目当ての方も多いですから。

群馬県からなら長野原または下仁田から上田または佐久、白樺湖、そして杖突峠経由が良いと思います。いつも私が群馬県へ行く時は、この逆ルートです。高速代がかからず混雑もないためお得です。

戸台の駐車場は広過ぎるので、場所によってはトイレが遠い。車中泊なら少し手前の道の駅、南アルプス村長谷が便利だと思います。前日の温泉は高遠が便利。道の駅手前の消防署の近くにコンビニ、スーパーありです。

始発時刻よりも早く臨時便が出ますので、急ぎなら早めに行列へ並んでください。

はじめまして
私は先月、甲斐駒ケ岳へ伊那側の仙流荘から行きました(長衛小屋でテン泊)。
昨年9月、北岳へ芦安からバスで行きました(北岳肩の小屋でテン泊)。

どちらも駐車場で車中前泊し始発便に乗車しました。

それぞれを比較すると…
＊駐車場までのアクセス
芦安…駐車場付近は細い山道で夜到着だとやや分かりづらい
仙流荘…広い道路で夜到着でも分かりやすくトイレや自販機もすぐ見つかる

＊駐車料
芦安…無料
仙流荘…協力金200円のポストがあります

＊トイレ
芦安…駐車場前の道路沿いのトイレは仮設トイレのような感じで夜は暗い
仙流荘…ウォシュレット付きのキレイなトイレで、広い洗面台では化粧も可能

＊駐車場のつくり
芦安…舗装された中規模の駐車場がいくつも点在
仙流荘…砂利敷きの大規模な駐車場が道路を挟んで2箇所(多分)

＊バス
芦安…左右2人がけ座席と中央通路は立ち乗り席
仙流荘…右側は2人がけ座席、左側は1人がけ座席、中央通路は補助席利用で立ち乗りは無し

＊乗車券
芦安…窓口で購入
仙流荘…自販機で購入(バス乗り場オープン中のみ)

私の感想としては、仙流荘のバス乗り場の方が分かりやすさやトイレのキレイさの面で快適に感じました。
北沢峠まで約1時間の乗車のみ。芦安からだと広河原までが約1時間の乗車で、そのあと乗り換えてどのくらいの乗車でしょうか？

芦安は乗り合いタクシーもあり、丁度タクシーに空きがあるならオススメします。
バスより快適に広河原まで行けるようです(友人談)
芦安のバス乗り場とは道を挟んで向かい側に乗り合いタクシー乗り場があるので、バス乗り場の窓口でタクシー乗車券の販売はしていないと思います。

私は埼玉県人ですが、昨年9月（平日）に本庄児玉IC〜更埴JCT〜伊那IC（ETC深夜割引使用）で仙流荘から北沢峠のルートを使いました。仙流荘までおよそ3時間半くらいでした（平日は仙流荘始発が8時なので、途中の筑北PAで仮眠。）。山梨側は広河原で乗換が必要なので、北沢峠の時は伊那側を利用しています。伊那側のバスは5台くらいあったと思いますが、土休の混雑時はピストン運行対応しているようです。（但し、バスが戻るまで約2時間かかるので、早めに並ぶ必要があると思います。）帰りも定員（立席なし）になり次第発車していました。
バスや駐車場等の情報は、伊那市（南アルプス林道バス）HPを参照してください。

早く北沢峠まで到着したいなら、伊那側からです。
・仙流荘→北沢峠
http://www.inacity.jp/kankojoho/sangaku_alps/minamialps/minamialps_jikokuhyo.html

・広河原→北沢峠
http://ashiyasu-kankou.co.jp/bus_for_hill_climbing/

仙流荘からのバスは、人数が多いと定刻より早く出発する場合があります。駐車場に早く到着しても仮眠できると思います。時間を優先するなら、伊那側をお勧めします。料金も安いですし芦安より人は断然少ないです。

※芦安からはタクシーの方が快適ですが、バスが広河原に到着してからでないと北沢峠への乗り継ぎのバスが出ないので、どちらでも変わりません。（バスは７０円安いですが、５０分ぐらい立ちっぱなしになる可能性がありきついです。）

週末となると芦安の駐車場は混雑する事があり、前泊車中泊なら大丈夫ですが、到着が遅くなると遠くの駐車場となりバス停まで少し歩く事になります。
芦安〜広河原は乗り合いタクシー（￥100高い）がお勧めです。
https://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-1198881.html
https://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-1189115.html
の感想が参考になるかもです。

乗り合いタクシーが断然便利です！
座れることとすぐに出発してもらえます。お金が１００~２００円ぐらい高かったように思えます。

　追加の回答ですが、私の場合は乗り合いタクシーに乗りました。始発の時間帯は、たくさんタクシーがあり、順次乗車できますし、同じ時間帯にバスも出ます。値段も時間も大差ありませんでした。乗り合いタクシーはハイエースで荷物を後ろに乗せてくれます。時刻表がＷＥＢで調べられますので、事前に調べていかれるとよいと思います。
　仙丈ヶ岳も甲斐駒ヶ岳もとても良い山でした。楽しんできてください。

　一昨年、芦安から入りました。芦安から入る場合、広河原で乗り換えが必要です。また朝一番の便は夜叉神ゲートの規制があるため、足止めを食らいます。
　夕方に到着した場合はバス停直近の駐車場に停められ、トイレも近くにあります。遅く到着してもいくつか駐車場があるので大丈夫です。
　デメリットは乗り換えと早朝のゲート規制くらいだと思います。伊那側はわかりません。