6月の経験はありませんが、他に回答者が無いようなので。
ヤマレコで昨年の山行記録をみた限りチェーンスパイクでも問題なさそうですが、年によって状況は変わるので何とも言えません。
北沢峠からだと、ルートは小仙丈尾根を往復することになりますね。仙丈小屋へトラバースするルートは通行できそうですが、現地で踏み跡等を確認してみて下さい。
藪沢新道と大滝ノ頭から馬の背ヒュッテに抜ける道は通行できないでしょう。万一、シュルンド踏抜いて沢に墜ちたらまず命はありません。

梅雨入りしそうな頃ですが、天気に恵まれると良いですね。