実は高尾山からよく見えます。
「ダイヤモンド富士」が綺麗に見られるポイントとしても有名で、多くの観光・登山客が訪れています。

その他、大菩薩嶺・御嶽山・雲取山など沢山ありますが、やはり高尾山をおすすめします。
私の山行記録で初日の出の際の高尾山から見た富士山の写真がありますので、よろしければ見ていってください＾＾

倉見山をお勧めします。初心者でも手軽に登れる山です。
富士急線の東桂駅から登り、寿駅に下山するのが、一般的です。

筑波山から関東平野越しに見えます。

双峰の男体山頂にある観測所から富士山方向の映像も取っています。
例）2012年1月25日朝8時の映像には富士山が写っています。

筑波山観測ステーション
http://hojyo.suiri.tsukuba.ac.jp/~mtsukuba/pics/

東京からなら、この映像を見た後で「今日は見えるんだー」と、登りに行くことも可能です。お急ぎならケーブルカーでいきなり山頂付近へ。
中腹から登山でアプローチなら2時間前後で、頂上にいけますよ。
このくらいくっきり富士山が見える日は、関東一円どのポイントからでも大丈夫そうですね（^^）

初心者向きではないですが、本栖湖の南西の毛無山からさらに西へ行ったところに、大ガレノ頭という山があります、その山から毛無山越しに見る富士山が私の中では、超お気に入りです。遠近感で富士山がより大きく感じます。
手前みそ記録
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/detail-33357.html

富士山マニアです。
いろいろな山から富士山が見えますが、冬でもガスがかかり見えないことがあるので、確率を高めるのであれば、富士山が目前の
御坂山地　→富士山の北側
　代表例：十二ヶ岳-富士山　直線17.9km
愛鷹連峰　→富士山の南側
　代表例：越前岳-富士山　直線14.9km
天子山地　→富士山の西側
　代表例：毛無山-富士山　直線18.1km
箱根　→富士山の東側
　代表例：金時山-富士山 直線26.1km
をお勧めします。
富士山が大きくクリアに見えますよ。

それでも天候により見えない時もあります。
天気予報は平地の予報なので、晴れの予想でも山に雲が付いている場合があります。
また、箱根側からは、籠坂峠、山中湖付近にガスが出ることが多いので、要注意です。
お勧めは、誰でも登りやすい愛鷹連峰の越前岳ですね。

富士山から遠ざかるほど、天候の影響を受けて見える確率が減ってきますね。

ochadaさん

奥多摩の中ですと、石尾根から見る富士山が好きです。
石尾根に連なる鷹ノ巣山から見るのが特に大好きです。

　でも、富士山は、「エッ」と驚くほど遠くからも見え
ますんで、どこが一番きれいなのかなぁ。。。

　ご質問に質問で返しました、済みません。

長野県塩尻の高ボッチ山がありますよ。
車から降りて確か徒歩20分位と記憶しています。
明け方の諏訪湖の夜景を前景に富士山！最高です。写真撮影に嵌まっていた25年位前は、毎週、行っていた記憶があります。（良い写真は撮れなかったけど・・・）

大菩薩峠もお勧めですよ。一旦尾根に出れば富士山を眺めながら快適に歩くことができます。山小屋も多いのでぜひ行ってみてください。

富士山が見える山ですね。僕自身が初心者なので行った経験で書いてみます。
金時山　石割山　三つ峠山
地図さえ持参すれば迷うこともなく行けると思いますよ

富士山を見れる山は多いです。
丹沢、奥多摩からも見えますし、箱根外輪山なんかだとより近く見えます。
この辺のエリアは高さもそれ程ではないですし、登山道も整備されている山が多いので初心者の方にも登りやすいと思います。

ちなみに山梨県なんかでは新富嶽百景というのを選定していますよ。
http://www.fujisan-net.jp/FUGAKU/

確率を上げるには、天気予報を見て晴れてそうな時に行くのが手っ取り早いんじゃないかと思います。