こんにちは。
回答がないようなので、ずれているかもしれませんが参考までに。

田越川の源流は、逗子インターの先からと、鷹取山の南の２つの流れがあるようです。
お聞きになっているのは鷹取山側の流れ（沼間4丁目と6丁目の間）と思いますが、以前鷹取山から地形図上の波線を南に降ったことはあります。
２本波線があって、東側は道型がわかりませんでした。西側の道は小さな尾根を急降下して横横道路脇の水道施設に降りています。岩や短いロープもあり、雨の時は滑りやすそうです。
降り切った水道施設からは住宅街の道路を東逗子駅まで歩きました。もう少し東側にも道があるようです。（標識がありました）
水道施設内の桜が綺麗でした。