首都圏近郊なら、大菩薩嶺もありますよ。
上日川峠とか、福ちゃん荘にテント場があったはず。
雲取山にも登っているのであれば、山行がボリューム不足に感じられるかもしれませんが、その分、テントでの時間を満喫できると思います。

他には、甲武信ヶ岳や将監小屋、尾瀬、平標山の家にもテント場があります。
コロナ禍での営業状況までは調べていないので、そこはご注意ください。

UL4さん、こんにちは。
コロナで緊急事態宣言下にあって、私はことしは４回のテント泊をしました。
少なくとも私が行った以下の小屋は今年も営業しています。
・奥多摩　七ッ石小屋（要予約）
・奥秩父　笠取小屋（予約希望）
・奥秩父　甲武信小屋（要予約）

泊まっていませんがその他には、奥秩父の富士見平や十文字小屋、大菩薩の福ちゃん荘、八ヶ岳の黒百合ヒュッテや赤岳鉱泉なども可能ですね。

甲斐駒ヶ岳・黒戸尾根の七丈小屋場営業しています（テント泊も要予約）
甲武信小屋・営業しています（テント泊も要予約）
雁坂小屋・営業していますテント場は予約不可

お昼ころ登山口に着いて、1泊だと、かなり選択肢があります。
燧ケ岳狙いの尾瀬。
富士見平泊の金峰山、ミズガキ山。
甲武信ヶ岳も行けるかな？
黒戸尾根にデンバあったっけ？あれば、甲斐駒。
朝、東京発で北沢峠まで入れれば、仙丈ヶ岳もしくは甲斐駒。
赤岳鉱泉泊の南八ヶ岳。
北八ヶ岳各デンバ(多数あり)泊の北八ヶ岳。
南御室小屋デンバ泊の鳳凰三山。
広河原に14時までに着ければ、白根小池小屋デンバ泊の北岳。
木曽駒デンバの三の沢岳とか。
まだまだありますがとりあえず以上。
八ヶ岳は色々バリエーションがあって、お勧めかな。

なお、各デンバが今年営業してるかは調べてません。
追記、デンバはテンバのミスでした。スマホだと字が小さくて気がつきませんでした。まだ、誤字脱字があるかも。