やっぱりダウンロード(書き出し)が分かり辛いですよね。
色々やり方はありますけど、ひとつ詳細に説明しますので、もし良かったらトライしてみて下さい。

書き出しの画面で、保存先の一覧(別のアプリの使用)の中に、カラフルな三角マークの「ドライブ」って無いですか?
有ればそれを選択すると、「ドライブに保存」って画面になります。
そしたら1項目目の「ドキュメントのタイトル」に適当な名前を付けます。
次に3項目目の「フォルダ」のところが「マイドライブ」になっていることを確認します。
そして下の「保存」をタップします。

保存したらヤマレコアプリの「マイページ」に戻って、記録を新規作成します。
すでに作ってある場合はその記録(下書き)を開き編集画面にする。
編集画面で「詳細」項目の下の「もっと詳しく」をタップする。
開いた画面の下の方、「奇跡(GPSログ)」項目のところで「編集」をタップする。
「奇跡の編集」画面になるので、下の「GPXファイルを読み込む」をタップする。
保存先を選択する画面になるので、左上の3本線マーク(メニュー)をタップする。
「次から開く」というメニューが出るので、その中から「ドライブ」を選択する。
開いた画面から「マイドライブ」を選択すると、先ほど名前を付けて保存したファイルがあると思うので選択します。
これで、ログが登録されます。この時に上書きするか追記するか確認の画面が出たら「上書きする」を選択します。
あとは、右上の「完了」をタップすれば終了です。

面倒ですよね💦　せっかくログ一覧があるのだから、そこから直ぐに記録の作成が出来ると良いですよね。
これは、アプリ改善要求案件かな(^^;

sakahideさん、こんにちは。
ログはスマホに保存されてるので取り出せます。削除した下書きは復元できないので新規作成するしかないです。

ログはヤマレコアプリを立ち上げて「マイページ」を開くと、下の方に「GPSログ」という項目があるので
タップすると保存されてるログの一覧が表示されます。
登山した日付のログをタップして、右上のメニューを開くと「GPXファイルの書き出し」という項目があるので
タップすると何処へ書き出すか(保存するか)選択する画面が出ます。
取り出せたら、記録を新規作成して取り出したGPSログを登録すれば良いです。

ちなみに、実際ログが保存されてる場所は、僕のAndroidスマホの場合スマホ本体のストレージ内
\Android\data\com.yamareco.memo\cache\gpx
に有ります。記録の新規作成からログの登録で、直接上記の場所を辿っても良いです。

ちょっと面倒で分かり辛いかもですけど、やってみて下さい。
躓いたら、また質問されると良いかと思います。