smissyさん、こんにちは。

白馬には7月中旬〜9月中旬にテント泊で毎年出掛けています。9月中旬前後からやや夜間早朝は冷え込む日があります。
防寒具、手袋、薄手のニット帽（またはネックウォーマーなど）は必須ですが、テント泊でも3シーズンダウンシュラフ＋シュラフカバー、寒かったらプラティパス等で湯たんぽを作れば寝られない寒さは体験したことがありません。
歩行に関しては雪渓は溶けているので、チェーンスパイクか軽アイゼンも使うのを迷うくらい短い区間かもしれませんね。

白馬は他の山に比べて長い期間花が咲き、9月中旬では紅葉はなくまだ花がきれいだったりしますよ。

9月初旬で東京や兵庫で最高気温が30数度なら夏と変わりません。朝晩がやや冷え込む程度。寒気が入ると霜くらいはおります、そこは兵庫でも夜間涼しくなる予報でわかります。直近の天気予報が大事。週間的予報で寒気が入り高山で降雪予報とかがあるかもしれないので、そこはしっかりチェックすること。

9月下旬だと、稜線は氷点下になることが多く、降雪も珍しくは無いです。