山小屋に到着したらヤマレコは「一時停止」

スマホは電源オフ

スマホをケーブルで充電

●翌朝

スマホを電源オン

ヤマレコを起動

充電ケーブルを抜く

ヤマレコは登山再開し出発

初歩的な質問が難しいんですよ。そこが解けると芋ずる式に疑問が解けてきますから。

山小屋滞在中は電源を切ってもOKです。ログは消えません。ただ私的にはここ1〜2年位のスマホは電源ONのままでもバッテリーの消費はごく僅かです（私の1年３ヶ月前に購入したスマホは一晩で1％ていどしか減らない）。ただ圏外と圏内を繰り返す小屋では電源OFFにするか機内モードをON（ネット接続をOFF）にした方が良い。

アプリを終了する、の意味ですが
ヤマレコアプリの登山を終了するの意味ですか？
１泊する場合の選択枝は２つです
1．アプリを一時停止する
2．アプリを終了する

翌日ログを再開する場合、アプリを一時停止にしてたときは「再開」ボタンを押せばOK

アプリを終了させてた場合は「新しい登山をする」と「24時間以内に終了したログがあります。登山を再開しますか？」の2つ選択枝があります。その時は後者を選べばOK

ネットに接続できていなくても、アプリは起動するしログは取れます。携帯圏外でも衛星からの電波が届けばログは取れます。

そして最後に、私見ですが、行動中（小屋を出てから下山するまで）は機内モードは使用しないことをお勧めします。なぜなら例えば遭難したときなど、捜索する側にGPS（現在地を）が分かるからです。圏外のところを歩いていても圏内になった途端現在地が分かるので、救助隊に少なくてもこの地点までは歩いているなと分かるからです。

そして再度私見になりますが、スマホ１回充電できるモバイルバッテリーは持参した方が良いです。私の場合5000mAでケーブル込みで120グラム。ちなみに一般道の冬以外の北アとかだと、１泊で3MBの画像100枚＋２日間で都合15時間の行動でもモバイルバッテリー使用しないで行けます。１泊だと帰路、バスの予約や電車の中でスマホを見るためにモバイルバッテリーを使います。

ヤマレコは一旦終了し、スマホの電源は落として大丈夫です。
翌日再度スマホを起動し、ヤマレコを立ち上げ、地図を呼び出し、山行スタートボタンを押すと、新しい登山か、それとも24時間以内に行った登山を再開するのか、いずれなのかを聞かれるので、再開を選択します。
これで、軌跡と記録は繋がります。
ちなみに、ヤマレコで山行モードを立ち上げっぱなしにする分には、ギガは消費しません（何かをダウンロードするわけではありません）。電力を消費するだけです。

それよりも、モバイルバッテリーを持参しないのは、リスク対策としてよろしくないかと思います。無事に小屋にたどり着ける・下山できるとは限らず、途中で動けなくなる可能性がどなたにでも、どの山でもあります。
救助を呼ぶと、電波の乏しい環境での警察との連絡で、激しくバッテリーを消耗します。（電波の乏しい環境で電波を捉えようとする時、電気を激しく消費します）
バッテリーが切れたというだけで、救助が呼べなくなります。
最低でも5000 mAhあるモバイルバッテリーを持参することをお勧めします。

また、アルプスの山小屋だと、wifi繋がるところが多いです。山小屋のウェブサイトに案内があります。
auユーザーは無料で、それ以外のキャリアのユーザーは買い切り型で課金すれば使えます。
天気予報ぐらいは見られた方がいいので、wifiがあるに越したことはありません。