許される行為かどうかは、ちょっと分かりませんが、関わりあいたくない行為であることは間違いないですね。

　公道ではないので、ライダーの加入している自動車保険が下りる可能性は低いでしょうから、事故に巻き込まれたら泣くに泣けない状況となることは間違いないです。
　山岳事故という訳でも無いでしょうから、山岳保険が出るかどうかも怪しいですし、加害者のいる事故であれば、健康保険や任意の保険も、最初に加害者への請求を求められるかも知れません。

　全国の登山道に自転車止めやバイク止めが出来る日も近そうですね。ヤレヤレとため息が出てしまいます。

国定公園で規定しています自然公園法では、特別地域の一部と特別保護地区（第１３条第３項第１４号）に定めています特別地域の内の（指定区域及び第１４条にに定める特別保護地区）において「馬車」（要するに乗り物）の使用の禁止規定があります。
[それ以外の県立自然条例も各地方自治体に存在しますが、法と比較すればゆるいです]
法に違反した場合は５０万以下の罰金または６か月以下の懲役が課せられます。

[馬車]で通行したい方は、国立公園内においては環境大臣、国定公園内の場合は都道府県知事の許可が必要です。
許可申請は申請したい地域を所管する地方環境事務所にて受付していますので。（但し申請内容により許可されない場合があります）